定理内容
Sperner定理：对于任意一个包含$n$个元素的集合$U$，我们最多能选择$\dbinom n {\left\lfloor\frac {n} 2\right\rfloor}$个子集，使得这些子集中没有包含关系。
定理证明
引理 Lubell–Yamamoto–Meshalkin不等式
对于包含 $n$ 个元素的集合 $U$，令 $A$ 为一个由 $U$ 的子集组成的集合，使得 $\forall A_1, A_2 \in A$，$A_1 \subsetneq A_2$ 和 $A_1 \supsetneq A_2$ 均不成立。设 $a_k$ 表示 $A$ 中大小为 $k$ 的集合的个数，则有：
$\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{a_k}{\binom n k}\leqslant 1$
证明：
对于 $S\in U$，我们构造一个 $1\sim n$ 的排列 $\sigma$，使得对于 $i\in S,j\not\in S$，有 $\sigma_i < \sigma_j$。
譬如，对于 $U={1, 2, 3, 4},S={2, 4}$，${\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4}$有以下$4$种可能：
$\begin{aligned}{2, 4, 1, 3}\
{2, 4, 3, 1}\
{4, 2, 1, 3}\
{4, 2, 3, 1}\end{aligned}$如果 $S\subseteq S’$ ，则必定存在一个 $1\sim n$ 的排列 $\tau$，使得 $S$ 和 $S’$ 都能构造出 $\tau$。
证明：
$\tau$ 的构造由三部分组成：${S}, {\complement{S’}S}, {\complement{U}S’}$。证毕。
还有命题：如果存在一个 $1\sim n$ 的排列 $\tau$，使得 $S$ 和 $S’$ 都能构造出 $\tau$，则必有 $S\subseteq S’$ 或 $S’\subseteq S$。
证明：
首先 $S$ 和 $S’$ 一定都是 ${\tau}$ 的一个前缀，然后 $|S|<|S’|\Leftrightarrow S \subsetneq S’$，$|S|=|S’|\Leftrightarrow S = S’$，$|S|>|S’|\Leftrightarrow S’ \subsetneq S$。证毕。
由 $A$ 的性质得，由 $A$ 内的元素所构造的排列两两不同。
因为集合 $S$ 能够构造出 $|S|!\left(n-|S|\right)!$ 个不同的排列，所以对于 $S\in A$ 的所有$S$能够构造出的不同的排列的个数为：
$\sum\limits_{S\in A} |S|!\left(n - |S|\right)!$
因为它们两两不同，又因为$1\sim n$的排列个数只有$n!$种，所以：
$\sum\limits_{S\in A} |S|!\left(n - |S|\right)! \leqslant n!\quad\cdots(1)$
将$S$按照$|S|$整理得：
$\sum\limits{S\in A} |S|!\left(n - |S|\right)! = \sum\limits{k = 0}^n a_k k!(n-k)!\quad\cdots(2)$
联立$(1),(2)$得：
$\sum\limits_{k = 0}^n a_k k!(n-k)! \leqslant n!$
将$n!$除过去：
$\sum\limits_{k = 0}^n \dfrac{a_k}{\binom n k} \leqslant 1$
证毕！
Sperner定理证明
令$S$为一个由$U$的子集组成的集合，使得$\forall S_1, S_2 \in S$，$S_1 \subsetneq S_2$和$S_1 \supsetneq S_2$均不成立。令$s_k$表示$S$中包含$k$个元素的集合的个数。
$\because \forall 0\leqslant k \leqslant n$，有$\binom n {\left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor} \geqslant \binom n k$，
$\therefore \dfrac {s_k} {\binom n {\left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor}} \leqslant \dfrac {s_k} {\binom n k}$。
$\therefore \sum\limits{k=0}^n\dfrac {s_k} {\binom n {\left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor}\leqslant \sum\limits{k=0}^n\dfrac {s_k} {\binom n k}}\leqslant 1 $。
$\therefore \sum\limits_{k=0}^n\dfrac {s_k} {\binom n {\left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor}} \leqslant 1$。
$\therefore |S| = \sum\limits_{k = 0}^n s_k \leqslant \binom n {\left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor}$。
证毕！