由于最近在复习数学，所以会看到很多省略证明的结论……
可是显然很多结论的我而言一点都不平凡 QAQ……
于是我打算整理一下。
下文中未经说明所有数的值域都为 $\N^+$。
Dirichlet 卷积 & Möbius 反演
$\varphi\ast1=\mathrm{id}$
即证 $\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n$。
设 $f(n)=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$，则 $f$ 为积性函数，因为：
设 $x,y$ 满足 $x\perp y$，则：
容易知道若 $p$ 为素数，则 $f(p)=\varphi(1)+\varphi(p)=1+(p-1)=p$。
因为 $f(p^k)=\sum\limits_{i=0}^k\varphi(p^i)=\varphi(p^k)+f(p^{k-1})=p^k-p^{k-1}+f(p^{k-1})$，于是 $f(p^k)=p^k$。
对于合数，直接质因数分解，然后乘起来就好了。
证毕。
其他
除法分块
若 $\left\lfloor\dfrac{n}{x}\right\rfloor< \left\lfloor\dfrac n{x-1}\right\rfloor$ 且 $x\geqslant \sqrt n$，则 $\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor}\right\rfloor}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac nx\right\rfloor$ 且 $\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor}\right\rfloor+1}\right\rfloor<\left\lfloor\dfrac nx\right\rfloor$。
证明：
为方便表述，令 $y=\left\lfloor\dfrac nx\right\rfloor$。于是我们有
$y\leqslant\dfrac n{\left\lfloor\frac ny\right\rfloor}\Leftrightarrow\left\lfloor\dfrac ny\right\rfloor\leqslant \dfrac ny$
所以
还有
于是
所以
接着我们要证
即证
即证
即证
该命题的一个充分不必要条件为：
若 $\left\lfloor\dfrac ny\right\rfloor<y$，则：
于是
矛盾。
证毕。