浅谈简单方程通解

本文主要讨论一些较为简单的整式方程的通解，涉及的较高难度的内容均会有详细讲解，请放心阅读。

一元整式方程

本段所有方程若无特殊说明系数皆为实数。

一元一次方程

$$ax+b=0\quad(a\ne 0)$$

移项可知

$$x=-\dfrac ba$$

一元二次方程

$$ax^2+bx+c=0\quad(a\ne 0)$$

最高项系数化为 $1$：

$$x^2+\dfrac bax+\dfrac ca=0$$

配方：

$$\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2+\left(\dfrac ca-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)=0$$

化简：

$$\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x+\dfrac b{2a}=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

不妨设 $\Delta=b^2-4ac$，易得

• 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个相异的实根；
• 当 $\Delta=0$ 时，方程有一个二重实根；
• 当 $\Delta<0$ 时，方程有一对共轭复根。

一元三次方程

$$ax^3+bx^2+cx+d=0\quad(a\ne0)$$

最高项系数化为 $1$：

$$x^3+\dfrac bax^2+\dfrac cax+\dfrac da=0\\ x^3+3\cdot\dfrac b{3a}x^2+3\cdot\dfrac {b^2}{9a^2}x+\dfrac {b^3}{27a^3}+\left(\dfrac ca-\dfrac{b^2}{9a^2}\right)x+\left(\dfrac da-\dfrac{b^3}{27a^3}\right)=0$$