「陶哲轩实分析笔记」2.2 加法

定义 2.2.1 令 $m$ 为一个自然数，定义 $m$ 加上 $0$ 为 $0+m:=m$。归纳地假设已经定义了 $m$ 加上 $n$ 的值，那么 $m$ 加上 $n’$ 为 $n’+m:=(n+m)’$。

加法交换律

命题 2.2.4 对于任意自然数 $n$、$m$，有 $n+m=m+n$。

加法结合律

命题 2.2.5 对于任意自然数 $a$、$b$、$c$，有 $(a+b)+c=a+(b+c)$。（对 $b$ 使用归纳法）

加法消去律

命题 2.2.6 对于任何自然数 $a$、$b$、$c$，如果 $a+c=b+c$，那么 $a=b$。（对 $c$ 使用归纳法）

正自然数

定义 2.2.7 称一个自然数 $a$ 是正的，当且仅当它不等于 $0$。

命题 2.2.8 如果 $a$ 是一个正自然数并且 $b$ 是一个自然数，那么 $a+b$ 也是一个正自然数。（结合引理 2.2.3）

序

定义 2.2.11 令 $n$、$m$ 为两个自然数，称 $n\ge m$ 或 $m\le n$，当且仅当存在自然数 $a$ 满足 $m+a=n$。称 $n>m$ 或 $m<n$，当且仅当 $n\ge m$ 并且 $n\ne m$。

命题 2.2.12（自然数序的基本性质） 令 $a$、$b$、$c$ 为任意自然数，那么：

1. (a)（序是自反的）$a\ge a$。
2. (b)（序是可传递的）如果 $a\ge b$ 并且 $b\ge c$，那么 $a\ge c$。
3. (c)（序是反对称的）如果 $a\ge b$ 并且 $b\ge a$，那么 $a=b$。
4. (d)（加法保持序不变）如果 $a\ge b$，那么 $a+c\ge b+c$。
5. (e) $a<b$，当且仅当 $a’\le b$。
6. (f) $a<b$，当且仅当存在正自然数 $d$ 使得 $b=a+d$。

命题 2.2.13（自然数的序的三歧性） 令 $a$、$b$ 为两个自然数，那么下面三种表述中恰有一个为真：$a< b$，$a=b$，$a>b$。

命题 2.2.14（强归纳法原理） 令 $m$ 为一个自然数，$P(m)$ 表示一个与自然数 $m$ 有关的性质。如果当对于任意 $m\ge m_0$，都有：如果 $P(n)$ 对于任意的 $m_0\le n< m$ 都为真，那么 $P(m)$ 也为真。（注意当 $m=m_0$ 时 $P(m)$ 为真，因为此时自然数 $n$ 的取值范围为空）此时那么我们可以断定，$P(m)$ 对于任意 $m\ge m_0$ 都为真。

习题

习题 2.2.1 证明命题 2.2.5。

命题 2.2.5：对于任意自然数 $a$、$b$、$c$，有 $(a+b)+c=a+(b+c)$。

证明：

对 $b$ 使用归纳法。

当 $b=0$ 时，

$$\begin{aligned} (a+0)+c&=a+c&(2.2.2)\\ &=a+(0+c) \end{aligned}$$

若 $(a+b)+c=a+(b+c)$，那么

$$\begin{aligned} (a+b')+c&=(a+b)'+c&(2.2.3)\\ &=((a+b)+c)'\\ &=(a+(b+c))'\\ &=a+(b+c)'&(2.2.3)\\ &=a+(b'+c) \end{aligned}$$

$\square$

习题 2.2.2 证明引理 2.2.10。

引理 2.2.10：若 $a$ 为一个正自然数，则恰有一个自然数 $b$ 使得 $b’=a$。

证明：

首先，如果存在自然数 $b$ 使得 $b’=a$，那么必定不存在另一个不同的自然数也满足这个条件。（根据公理 2.4）

接下来运用归纳法证明“存在自然数 $b$ 使得 $b’=a+1$”对于任意自然数 $a$ 成立：

首先当 $a=0$ 时，显然有 $b=0$ 满足条件。

假设存在自然数 $b$ 使得 $b’=a+1$，那么有 $b’’=b’+1$，所以命题对 $a’$ 也成立。

$\square$

习题 2.2.3 证明命题 2.2.12。

命题 2.2.12：令 $a$、$b$、$c$ 为任意自然数，那么：

1. (a) $a\ge a$。
2. (b) 如果 $a\ge b$ 并且 $b\ge c$，那么 $a\ge c$。
3. (c) 如果 $a\ge b$ 并且 $b\ge a$，那么 $a=b$。
4. (d) 如果 $a\ge b$，那么 $a+c\ge b+c$。
5. (e) $a<b$，当且仅当 $a’\le b$。
6. (f) $a<b$，当且仅当存在正自然数 $d$ 使得 $b=a+d$。

命题 (a)：

证明：

因为当 $b=0$ 时，有 $a+0=a$（引理 2.2.2），所以 $a\ge a$。

$\square$

命题 (b)：

证明：

因为 $a\ge b$，所以存在自然数 $k_1$ 使得 $b+k_1=a$。因为 $b\ge c$，所以存在自然数 $k_2$ 使得 $c+k_2=b$。因为 $a=b+k_1=(c+k_2)+k_1=c+(k_2+k_1)$，所以 $c\ge a$。

$\square$

命题 (c)：

证明：

因为 $a\ge b$，所以存在自然数 $d$ 使得 $b+d=a$，因为 $b\ge a$，所以存在自然数 $e$ 使得 $a+e=b$。所以 $b=a+e=(b+d)+e=b+(d+e)$，所以 $b+0=b+(d+e)$（引理 2.2.2），所以 $d+e=0$（命题 2.2.6），所以 $d=e=0$（推论 2.2.9），所以 $b=a+e=a+0=a$（引理 2.2.2）。

$\square$

命题 (d)：

证明：

因为 $a\ge b$，所以存在自然数 $d$ 使得 $b+d=a$，所以

$$\begin{aligned} (b+c)+d&=b+(c+d)&(2.2.5)\\ &=b+(d+c)&(2.2.4)\\ &=(b+d)+c&(2.2.5)\\ &=a+c \end{aligned}$$

所以 $a+c\ge b+c$。

$\square$

命题 (e)：

证明：

首先证明 $a<b$ 蕴含 $a’\le b$：

因为 $a<b$，所以 $a\le b$ 并且 $a\ne b$。所以存在自然数 $d$ 使得 $a+d=b$，但是当 $d=0$ 时 $a+d=a+0=a=b$ 与 $a\ne b$ 矛盾，所以 $d\ne 0$。根据引理 2.2.10，存在自然数 $e$ 使得 $e’=d$。所以 $a+e’=b$。所以 $a’+e=b$（引理 2.2.4），所以 $a’\le b$。

然后证明 $a’\le b$ 蕴含 $a<b$：

因为 $a’\le b$，所以存在自然数 $d$ 使得 $a’+d=b$，所以有 $a+d’=b$（引理 2.2.4），因为 $d’\ne 0$（公理 2.3），所以 $b+a+d’\ne a+0=a$，所以 $a<b$。

$\square$

命题 (f)：

证明：

首先证明 $a<b$ 蕴含存在正自然数 $d$ 使得 $a+d=b$：

如果 $a<b$，那么 $a\le b$ 并且 $a\ne b$。所以存在自然数 $e$ 使得 $a+e=b$。当 $e=0$ 时 $b=a+e=a+0=a$ 与 $a\ne b$ 矛盾，所以 $e\ne 0$，所以 $e$ 为正自然数。

然后证明存在正自然数 $d$ 使得 $a+d=b$ 蕴含 $a<b$：

因为存在自然数 $d$ 使得 $a+d=b$，所以 $a\le b$。因为若 $a=b$ 则根据命题 2.2.6 有 $d=0$ 与 $d$ 为正自然数矛盾，故 $a\ne b$。所以 $a<b$。

$\square$

习题 2.2.4 证明以下三个命题：

1. (a) 对于任意自然数 $b$，有 $0\le b$。
2. (b) 对于任意自然数 $a$、$b$，如果 $a>b$，那么 $a’>b$。
3. (c) 对于任意自然数 $a$、$b$，如果 $a=b$，那么 $a’>b$。

命题 (a)：

证明：

因为当 $m=b$ 时，$0+m=0+b=b$，所以 $0\le b$。

$\square$

命题 (b)：

证明：

因为 $a>b$，根据命题 2.2.12f，存在正自然数 $m$ 使得 $b+m=a$。因为 $a’=(b+m)’=b+m’$ 并且 $m’$ 为正自然数，所以根据命题 2.2.12f，$a’>b$。

$\square$

命题 (c)：

证明：

因为 $a=b$，所以当 $m=1$ 时有 $b+m=b+1=b+0’=(b+0)’=b’=a’$。因为 $m$ 为正自然数，所以 $a’>b$。

$\square$

习题 2.2.5 证明命题 2.2.14。

命题 2.2.14：令 $m$ 为一个自然数，$P(m)$ 表示一个与自然数 $m$ 有关的性质。如果当对于任意 $m\ge m_0$，都有：如果 $P(n)$ 对于任意的 $m_0\le n< m$ 都为真，那么 $P(m)$ 也为真。（注意当 $m=m_0$ 时 $P(m)$ 为真，因为此时自然数 $n$ 的取值范围为空）此时那么我们可以断定，$P(m)$ 对于任意 $m\ge m_0$ 都为真。

证明：

令 $Q(n)$ 表示如下关于自然数 $n$ 的性质：对于任意满足 $m_0\le m\le n$ 的自然数 $m$，均有 $P(m)$ 成立。（当 $n<m_0$ 时 $Q(n)$ 恒为真，因为此时自然数 $m$ 的取值范围为空）

那么首先因为 $P(m_0)$ 为真，所以 $Q(m_0)$ 也为真。

当 $n\ge m_0$ 时，如果 $Q(n)$ 为真，那么根据 $P(m)$ 的定义，因为对于任意满足 $m_0\le m< n’$ 的自然数 $m$ 都有 $P(m)$ 为真，所以 $P(n’)$ 也为真。所以对于任意满足 $m_0\le m\le n’$ 的自然数 $m$，均有 $P(m)$ 为真。所以 $Q(n’)$ 为真。

用归纳法证明“当 $n$ 为正整数时，$Q(n+m_0)$ 为真”。

当 $n=0$ 时，$Q(n+m_0)=Q(m_0)$ 为真。

如果 $Q(n+m_0)$ 为真，那么 $Q(n’+m_0)=Q((n+m_0)’)$ 也为真。

所以命题“$Q(n+m_0)$ 为真”对于任意自然数都成立。

所以对于任意满足 $n\ge m_0$ 的自然数 $n$，都有 $Q(n)$ 成立。

所以对于任意满足 $m\ge m_0$ 的自然数 $m$，都有 $P(m)$ 成立。

$\square$

习题 2.2.6：

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Footnote

ⁱ. 为了方便，命题、定理、引理、假设等均沿用原文的编号。 ↩

ⁱⁱ. 这个定义/证明不够严谨，在原文中有标注“非正式的”。 ↩

ⁱⁱⁱ. 这里用到了下一章才会给出定义的函数，但这并非循环论证，因为函数的定义并不需要用到 Peano 公理。 ↩

^iv. 这里 $:=$ 是“定义为”的意思。 ↩