Peano 公理
公理 2.1i $0$ 是自然数；
公理 2.2 每个确定的自然数 $n$ 都有一个确定的后继，记作 $n’$，$n’$ 也是自然数；
公理 2.3 不存在自然数 $n$ 使得 $n’=0$；
公理 2.4 对于任意自然数 $n$、$m$，如果 $n\ne m$，那么 $n’\ne m’$；
公理 2.5（数学归纳法原理） 任意关于自然数的命题，如果它对自然数 $0$ 是真的，而且如果它对自然数 $n$ 为真时，可以证明它对自然数 $n’$ 也为真。那么，命题对所有的自然数都为真。
公理 2.1~公理 2.5 被称为自然数的 Peano 公理。
假设 2.6ii 存在一个数系iii $\mathbb N$，我们称 $\mathbb N$ 里的元素为自然数，而公理 2.1~公理 2.5 对 $\mathbb N$ 均成立。
我们把假设 2.6 中所的数系 $\mathbb N$ 称为自然数系。
加法
定义 2.2.1 令 $m$ 为一个自然数，我们用归纳法定义加法：定义 $0+m:=m$iv。归纳地假设我们已经定义了 $n+m$，那么我们定义 $n’+m:=(n+m)’$。
命题 2.2.14（强归纳法原理） 令 $m_0$ 表示一个自然数，$P(m)$ 表示与任意自然数 $m$ 有关的性质。如果 $\forall m\ge m_0:((\forall m_0\le m’< m:P(m’))\Rightarrow P(m))$，那么 $\forall m\ge m_0:P(m)$。
正自然数
定义 2.2.7 称一个自然数 $n$ 是正的，当且仅当它不等于 $0$。
序
定义 2.2.11 令 $n$、$m$ 表示任意两个自然数。我们称 $n$ 大于等于 $m$，并且记作 $n\ge m$ 或者 $m\le n$，当且仅当 $\exist a:n=m+a$。我们称 $n$ 严格大于 $m$，并且记作 $n>m$ 或 $n<m$，当且仅当 $n\ge m$ 且 $n\ne m$。
乘法
定义 2.3.1 令 $m$ 为一个自然数。我们用归纳法定义乘法：定义 $0\times m:=0$。归纳地假设我们已经定义了 $n\times m$，那么我们定义 $n’\times m:=(n\times m)+m$。
指数运算
定义 2.3.11 设 $m$ 是一个自然数，我们用归纳法定义指数运算：定义 $m^0:=1$。（注意这里将 $0^0$ 也定义为了 $1$）归纳地假设我们已经定义了 $m^n$，那么我们定义 $m^{n’}:=m^n\times n$。
Footnote
i. 为了方便，命题、定理、引理、假设等均沿用原文的编号。 ↩
ii. 这个定义/证明不够严谨，在原文中有标注“非正式的”。 ↩
iv. 这里的“$:=$”是“被定义为”的意思。 ↩