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「陶哲轩实分析」第2章-从头开始:自然数-笔记

Peano 公理

公理 2.1i 0 是自然数;
公理 2.2 每个确定的自然数 n 都有一个确定的后继,记作 nn 也是自然数;
公理 2.3 不存在自然数 n 使得 n=0
公理 2.4 对于任意自然数 nm,如果 nm,那么 nm
公理 2.5(数学归纳法原理) 任意关于自然数的命题,如果它对自然数 0 是真的,而且如果它对自然数 n 为真时,可以证明它对自然数 n 也为真。那么,命题对所有的自然数都为真。

公理 2.1~公理 2.5 被称为自然数的 Peano 公理

假设 2.6ii 存在一个数系iii N,我们称 N 里的元素为自然数,而公理 2.1~公理 2.5 对 N 均成立。

我们把假设 2.6 中所的数系 N 称为自然数系

加法

定义 2.2.1m 为一个自然数,我们用归纳法定义加法:定义 0+m:=miv。归纳地假设我们已经定义了 n+m,那么我们定义 n+m:=(n+m)

命题 2.2.14(强归纳法原理) 令 m0 表示一个自然数,P(m) 表示与任意自然数 m 有关的性质。如果 mm0:((m0m<m:P(m))P(m)),那么 mm0:P(m)

正自然数

定义 2.2.7 称一个自然数 n的,当且仅当它不等于 0

定义 2.2.11nm 表示任意两个自然数。我们称 n 大于等于 m,并且记作 nm 或者 mn,当且仅当 \exista:n=m+a。我们称 n 严格大于 m,并且记作 n>mn<m,当且仅当 nmnm

乘法

定义 2.3.1m 为一个自然数。我们用归纳法定义乘法:定义 0×m:=0。归纳地假设我们已经定义了 n×m,那么我们定义 n×m:=(n×m)+m

指数运算

定义 2.3.11m 是一个自然数,我们用归纳法定义指数运算:定义 m0:=1。(注意这里将 00 也定义为了 1)归纳地假设我们已经定义了 mn,那么我们定义 mn:=mn×n

Footnote

i. 为了方便,命题、定理、引理、假设等均沿用原文的编号。
ii. 这个定义/证明不够严谨,在原文中有标注“非正式的”。
iv. 这里的“:=”是“被定义为”的意思。