Peano 公理
公理 2.1i 0 是自然数;
公理 2.2 每个确定的自然数 n 都有一个确定的后继,记作 n′,n′ 也是自然数;
公理 2.3 不存在自然数 n 使得 n′=0;
公理 2.4 对于任意自然数 n、m,如果 n≠m,那么 n′≠m′;
公理 2.5(数学归纳法原理) 任意关于自然数的命题,如果它对自然数 0 是真的,而且如果它对自然数 n 为真时,可以证明它对自然数 n′ 也为真。那么,命题对所有的自然数都为真。
公理 2.1~公理 2.5 被称为自然数的 Peano 公理。
假设 2.6ii 存在一个数系iii N,我们称 N 里的元素为自然数,而公理 2.1~公理 2.5 对 N 均成立。
我们把假设 2.6 中所的数系 N 称为自然数系。
加法
定义 2.2.1 令 m 为一个自然数,我们用归纳法定义加法:定义 0+m:=miv。归纳地假设我们已经定义了 n+m,那么我们定义 n′+m:=(n+m)′。
命题 2.2.14(强归纳法原理) 令 m0 表示一个自然数,P(m) 表示与任意自然数 m 有关的性质。如果 ∀m≥m0:((∀m0≤m′<m:P(m′))⇒P(m)),那么 ∀m≥m0:P(m)。
正自然数
定义 2.2.7 称一个自然数 n 是正的,当且仅当它不等于 0。
序
定义 2.2.11 令 n、m 表示任意两个自然数。我们称 n 大于等于 m,并且记作 n≥m 或者 m≤n,当且仅当 \exista:n=m+a。我们称 n 严格大于 m,并且记作 n>m 或 n<m,当且仅当 n≥m 且 n≠m。
乘法
定义 2.3.1 令 m 为一个自然数。我们用归纳法定义乘法:定义 0×m:=0。归纳地假设我们已经定义了 n×m,那么我们定义 n′×m:=(n×m)+m。
指数运算
定义 2.3.11 设 m 是一个自然数,我们用归纳法定义指数运算:定义 m0:=1。(注意这里将 00 也定义为了 1)归纳地假设我们已经定义了 mn,那么我们定义 mn′:=mn×n。
Footnote
i. 为了方便,命题、定理、引理、假设等均沿用原文的编号。 ↩
ii. 这个定义/证明不够严谨,在原文中有标注“非正式的”。 ↩
iv. 这里的“:=”是“被定义为”的意思。 ↩