基是线性代数中的一个概念，在 OI 有着广泛的用途。
定义
一个域是一个装备了两个二元运算 $+$、$\cdot$ 的集合 $F$，其中 $+:F\times F\to F$，$\cdot:F\times F\to F$，满足以下几个条件：
- 加法满足结合律：$\forall a,b,c\in F:(a+b)+c=a+(b+c)$；
- 加法满足交换律：$\forall a,b\in F:a+b=b+a$；
- 乘法满足结合律：$\forall a,b,c\in F:(ab)c=a(bc)$；
- 乘法满足交换律：$\forall a,b\in F:ab=ba$；
- 乘法对加法满足分配律：$\forall a,b,c\in F:a(b+c)=ab+ac$；
- 存在加法单位元：$\exist 0\in F:\forall a\in F:0+a=a$；
- 存在乘法单位元：$\exist 1\in F,0\ne 1:\forall a\in F:1a=a$；（要求 $0\ne 1$ 是避免出现仅有一个元素的平凡域）
- 存在加法逆元：$\forall a\in F:\exist (-a)\in F:a+(-a)=0$；
- 非零元素存在乘法逆元：$\forall a\in F,a\ne 0:\exist a^{-1}\in F:a^{-1}a=1$.
给定域 $F$，$F$ 上的向量空间是一个装备了两个二元运算的集合 $V$，其中 $+:V\times V\to V$，$\cdot:F\times V\to V$，满足以下几个条件：
- 向量加法满足结合律：$\forall \mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in V:(\mathbf u+\mathbf v)+\mathbf w=\mathbf u+(\mathbf v+\mathbf w)$；
- 向量加法满足交换律：$\forall \mathbf u,\mathbf v\in V:\mathbf u+\mathbf v=\mathbf v+\mathbf u$；
- 存在向量加法单位元：$\exist\mathbf 0\in V:\forall \mathbf v\in V:\mathbf v+\mathbf 0=\mathbf v$；
- 存在向量加法逆元：$\forall \mathbf v\in V:\exist (-\mathbf v)\in V:\mathbf v+(-\mathbf v)=\mathbf 0$；
- 标量乘法与标量的域乘法相容：$\forall a,b\in F,\mathbf v\in V:(ab)\mathbf v=a(b\mathbf v)$；
- 存在标量乘法单位元：$\exist 1\in F:\forall \mathbf v\in V:1\mathbf v=\mathbf v$；
- 标量乘法对向量加法的分配律：$\forall a\in F,\mathbf u,\mathbf v\in V:a(\mathbf u+\mathbf v)=a\mathbf u+a\mathbf v$；
- 标量乘法对域加法的分配律：$\forall a,b\in F,\mathbf v\in V:(a+b)\mathbf v=a\mathbf v+b\mathbf v$.
对于域 $F$ 上的向量空间 $V$ 的一个有限子集 $S={\mathbf v1,\cdots,\mathbf v{|S|}}$，称 $\mathbf v$ 是 $S$ 的一个线性组合，当且仅当 $\exist \lambda1,\cdots\lambda{|S|}\in F:\lambda1\mathbf v_1+\cdots+\lambda{|S|}\mathbf v_{|S|}=\mathbf v$。（规定：向量 $\mathbf 0$ 是空集的线性组合）